近独立粒子的最概然分布

常见的三种最概然分布分别为：

那么为什么会存在三种不同的最概然分布呢？
事实上，这三种分布分别对应了三种不同的粒子。
首先是经典粒子：最早自德谟克里特时代，大部分科学家都认为，粒子有着清晰的边界，不同的粒子之间是可以相互区分的，因此，在麦克斯韦-玻尔兹曼分布中存在着一个重要的前提假设：

粒子是可分辨的

但今天随着量子力学的发展我们知道，粒子本质上是概率波，很多情况下存在无法分辨的情况，因此随后提出了基于这一假设的费米子和玻色子。

1925年，在玻尔提出原子轨道模型后，成功地解释了氢原子的光谱问题，但在对多电子原子的光谱进行解释时面对着巨大困难。理论上，基态原子的所有电子都应该处于最低能级，但实际结果与这一论断大相径庭。
随后，泡利进行了思考，并提出了革命性的理论：

在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子拥有完全相同的一组量子数

也就是 “泡利不相容原理”。
依据粒子是否符合泡利不相容原理，又可以分为费米子与玻色子。但二者均基于同一假设：

粒子是不可分辨的

接下来，我们一个一个来看。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布

首先需要明确几个基础知识：

等概率原理：孤立系统的所有微观状态出现的概率相等。

例如：四个粒子所在的能级分别为 $1 ， 2 ， 0 ， 0$ ，那么其微观状态为： $(1, 2, 0, 0)$

那么对应的，系统处于某个微观状态 $i$ 的概率 $P_{i}$ 与该状态下的微观状态数 $Ω_{R} (E_{t o t a l} - E_{i})$ 成正比。（一个能量可能对应多个微观状态）

热库的熵

一般用 $S_{R}$ 来表示热库的熵，其与微观状态数的关系为：

S_{R} = k \ln Ω_{R}

其中的 $k$ 为玻尔兹曼常数。

那么对应能量 $E_{i}$ 的熵为： $S_{R} = \ln Ω_{R} (E_{t o t a l} - E_{i})$