微分方程(1)

微分方程

引入

指数为矩阵的运算：

$e^{At}$

首先，这种运算预我们平常所理解的e指数并不相同。一般意义下的指数含义为：

指数是幂运算的重要组成部分，代表着将底数自乘指数次的运算。

然而在此处，则需要结合另一种东西。在微积分中我们都学习过泰勒级数：

$e^x=\sum{\frac{1}{n!}x^n}$

那么同样，其中的$x$可以是复数或矩阵。因此，我们同样可以用级数的方式来计算矩阵指数。但在此之前，我们可以先看一点有趣的东西。

虐恋心理学

甄嬛爱四郎的程度是$x$，四郎爱甄嬛的程度是$y$。众所周知，如果皇帝能够一直爱着甄嬛，那么初入宫时单纯的甄嬛就会被皇帝给迷惑，越来越爱她的四郎。
那么此时甄嬛对四郎的爱意就是：

$x=\frac{dy}{dt}$

而四郎喜欢拉扯，爱他的女人他不爱，不爱他的女人他偏要贴上去 (指叶澜依) 因此，他对甄嬛的爱意应该是：

$y=-\frac {dx}{dt}$

那么我们就可以得到一个微分方程组，用以描述二人情感的纠葛。如果要形象地描述，我们将$(x,y)$整合到坐标系中，用一个向量来表示他们的情感状态：

$\left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{dy}{dt}\\ -\frac{dx}{dt} \end{matrix} \right]$

为方便表示，我们用$y'(t)$表示$\frac{dy}{dt}$，我们可以发现：

$\left[ \begin{matrix} y'(t)\\ -x'(t) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 &1\\ -1 &0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x'(t)\\ y'(t) \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 &1\\ -1 &0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x'(t)\\ y'(t) \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} x'(t)\\y'(t) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 &1\\ -1 &0 \end{matrix} \right]^T \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right]$

整理一下也就是：

$\frac{d}{dt} \vec{v}(t)=M\vec{v}(t)$

这就是一个简单的微分方程。
如果将这里的矢量函数换成简单的标量函数，即将$\vec{v}(t)$替换为$f(x)$此时我们就能发现，这个方程的形式就会变为：

$f'(x)=Cf(x)$

眼熟吗？如果实在想不起来，请回忆一下指数函数的求导：

$(e^{Cx})'= Ce^{Cx}$

所以此处$f(x)=e^{Cx}$就是解的形式。

那么带进去我们就能够得到那个虐恋方程组的解的形式之一：

$\vec{v}(t)=e^{Mt}$

但其中的矩阵$M$依然是未知的，因此我们需要进一步去求解。但只看着这个题目我们无从下手，此时我们就可以后头看我们之前得到的形式中的矩阵：